A háromszoros olimpiai, kétszeres Európa-bajnok, és a profik között is Európa első számú öklözője volt. Papp László Angyalföldön született, és nőtt fel.
Eredetileg focistának készült, de végül mégis ökölvívó lett, édesapja intése ellenére: „Édes fiam, ha pofon kell, csak szólj, adok én neked minden este lefekvés előtt!” Papp Lászlót előbb öklözött külföldön, mint Magyarországon.
1945. szeptember 13-án Bécsben az 1. menetben kiütötte az osztrák Böhmöt, majd csak ezután, október 6-án következhetett a hazai bemutatkozás, amikor a nézőtérről hívták fel, mert a csepeli Bicsáknak nem volt ellenfele. Kiütéssel győzött a 2. menetben a hatszoros bajnok ellen.
A rá következő két évben aztán sorra jöttek a győzelmek, de ezekben a kezdeti években még egy-két vereség is becsúszott. Ezek közül valószínűleg a legfájóbb, az 1947-es dublini EB, az első világverseny, amelyen indult.
1948-tól aztán egészen négy éven keresztül nem talált legyőzőre. Azokban az időkben az számított jó ökölvívónak, aki kibírta a Papp László elleni küzdelmet kiütés nélkül. A sikerszériába tartozik két megnyert olimpia, két Európa-bajnoki cím és két főiskolai VB-győzelem. Közben még egy súlycsoportváltás is belefért, legyőzni itt sem tudták.
1953-ban viszont becsúszott neki egy vereség, de ez sem törte meg a magyar bokszoló lendületét, és a következő két évben, azokon a versenyeken, ahol indult, csak az ő kezét emelték magasba.
1956-ban, a harmadik olimpiája előtt a lengyel Pietrzykowski ellen elszenvedte élete egyetlen kiütéses vereségét. Melbourne a magyar forradalom leverése árnyékában zajlott, de ez sem tudta kizökkenteni a harmadik olimpiai bajnoki címére készülő magyar klasszist. Visszavágott Pietrzykowskinak is, aki már az első menetben a padlón volt. Innentől pedig már sima volt az út, az újabb – harmadik – aranyig.
Amatőrként összesen 193 mérkőzésből 183-on győzött 2 döntetlen és 8 vereség mellett. Három olimpia, két EB-, két főiskolai VB-, 6 magyar bajnokság kapcsolódik a nevéhez.
1957-ben engedélyezték profi pályafutását, amelynek mérlege 27 diadal, 2 döntetlen, Európa-bajnoki cím, amit Chris Christiansentől szerzett meg 1962. május 16-án Bécsben. Hatszor sikerült megvédenie elsőségét.
1965-ben mérkőzhetett volna a VB-övért, de a kommunista vezetés nem engedte őt a ringbe lépni. 1990-ben megkapta a legjelentősebb profi box szervezet, a WBC „A világ legjobb amatőr és hivatásos középsúlyú ökölvívójának” járó övét.
Papp László edzőként is nagyot alkotott. 1969. és 1992. között kisebb megszakításokkal a magyar amatőr ökölvívó-válogatott szövetségi kapitánysága alatt a magyar boxolók megszámlálhatatlan ezüst és bronz mellett egy olimpiai, egy VB- és tíz EB-aranyérmet nyert. 2001-ben Puskás Ferenc és Balczó András mögött harmadik lett az évszázad magyar sportolója szavazáson.
